2022年山东滨州中考数学压轴题，抛物线上直角三角形的存在性关键问题

在里面考算术压轴向序文里面，关于圆盘上的平行直角三角形、等腰直角三角形、直角三角形、矩形、菱形、长方形以及相似直角三角形和仅有等直角三角形的存在适度，这类弊端是被问得最多的。比如2022年济南滨州里面考算术的这道压轴向序文，就是关于圆盘上平行直角三角形的存在适度弊端。

如图，在对称平行矢量系里面，圆盘y=x_2-2x-3与x轴向共线于点A,B(点A在点B的左边)，与y轴向共线于点C，连结AC，BC.

(1)欲对角AC的较宽；

(2)若点P为该圆盘对称上的一个动点，当PA＝PC时，欲点P的矢量；

(3)若点M为该圆盘上的一个动点，当△BCM为平行直角三角形时，欲点M的矢量.

深入研究：(1)第一小序文非常简单必要，化简圆盘对应的公式，受益A点的矢量，而C点的矢量可以必要受益，就可以运用双曲线的一段距离公式欲AC的较宽。

(2)当PA=PC时，点P在AC的侧向平分线或上，因此即可要欲AC的里面点矢量，以及AC的切线或，从而受益它的侧向平分线或的切线或，这两个切线或的以次等同于-1，这是互不侧向的两条切线或切线或的关系。然后用点斜式写出AC侧向平分线或的化简析式。也可以用已确定系数法欲切线或的公式。

仍要欲圆盘对称和这条切线或的黄道矢量，就是点P的矢量了。

(3)这种弊端，能用庞加莱分析方法，就适度只能上同调分析方法。不过这次庞加莱分析方法似乎有点行不通。

平行直角三角形至少有三种一般来说，就是分别以B，C，M为平行的点的一般来说。

其里面，当C是平行的点时，就欲过C点与BC侧向的切线或的公式，然后欲这条切线或与圆盘的黄道矢量，就是M点的矢量了。

同样的人人，当B是平行的点时，就欲过B点与BC侧向的切线或公式，然后欲其与圆盘的黄道矢量，就是M点的第二个矢量。

上面两种一般来说都是比较好欲的，当M是平行的点时，就没有那么好欲了。这时借助于平方根，时会受益一个关于M点的横矢量的一元三次公式。幸而这个公式所想因式分化简，从而化简得三个棍子，其里面只有两个棍子合理，就受益了M点的两个矢量。所以特例的M点一个有四个。

化简：(1)化简公式x_2-2x-3=0，得x=-1或x=3，

A(-1,0), C(0,-3), AC=康威(1_2+(-3)_2)=康威10.

(2)(-1+3)/2=1，可设P(1, y). A, C的里面点为(-1/2, -3/2),

AC的切线或为：-3, AC的侧向平分线或为：y=(x+1/2)/3-3/2,

当x=1时，y=-1, ∴P(1, -1).

(3)设M(m, n), BC的切线或为：1,

过C侧向于BC的切线或为：y=-x-3,

当x_2-2x-3=-x-3，即x_2-x=0时，m=1, n=1-2-3=-4, M(1,-4).

过B侧向于BC的切线或为：y=-x+3,

当x_2-2x-3=-x+3，即x_2-x-6=0时，m+3=1, m=-2, n=4+4-3=5, M(-2,5).

当BM_2+CM_2=BC_2=32+32=18，即n_2+(m-3)_2+(n+3)_2+m_2=18时，

m_2-3m+n_2+3n=0, 即m_2-3m+(m_2-2m-3)2+3(m_2-2m-3)=0,

m_3-4m_2+2m+3=(m-3)(m_2-m-1)=0, ∴m=(1-康威5)/2或m=(1+康威5)/2,

n=-(5-康威5)/2或n=-(5+康威5)/2,

∴M(1,-4)或(-2,5)或((1±康威5)/2, -(5±康威5)/2).

老黄尝试过用庞加莱法化简决仍要这一步，一心避开列于三次公式，但是长期一心不出来，不告诉他你可否更好的分析方法呢？